Люди! Человеки! Математики!

[e_mir]

Вопрос к серьезным людям, применяющих математику в работе и быту.

А если точнее - не всю математику, а теорию массового обслуживания, совершенно классическая задача расчета необходимого количества саппорт-персонала, его загрузки и линий для обеспечения приемлемого качества (оперативности) ответа. 

Многомудрые друзья мои, скажите, может быть у вас есть описание нужной формулы с примерами? Очень бы хотелось на нее посмотреть. Я в свое время это учил, но, разумеется, никаких записей у меня с тех времен не осталось. В сети я нашел несколько готовых калькуляторов, считающих эрланговскую нагрузку, но они просто выдают готовые результаты, а мне необходимо будет доступно обьяснить что откуда взялось незаинтересованным в этом людям.

Да, и еще момент - на чем считать-то формулу чтоб не заморачиваться? На Экселе? Или нужны какие-то матлабы?

Comments

[prool.livejournal.com]

Нова формула піклується про мою шкіру!

По моему всё это надо моделировать на старом добром языке GPSS

[e_mir]

GPSS для прикидки количества линий - крутовато.

[prool.livejournal.com]

Ну я всё таки панк или не панк!

Хотя насколько я помню спецкурс ТМО, там есть "формуля". Только фиг она что даст, если поток запросов не распределен по Пуассону. По большому счету вначале надо мерять поток запросов путем наблюдений. "Нам потребуются самые тщательные наблюдения" (А.Азимов, "Конец Вечности")

[e_mir]

В первом приближении - именно пуасоновское распределение. Касательно - "сначала наблюдения" не получиться. Система, реализующая идею не существует, для нее нужно финансирования, для финансирования нужен план, в котором будет сказано - сколько нужно операторов.

[ichthuss]

В общем, там все формулы интуитивно очевидны. В стационарном режиме средняя вероятность перехода в единицу времени из некоторого состояния и в это состояние равны между собой. Вероятность перехода из данного состояния в следующее равно интенсивности потока входящих заявок, умноженной на вероятность нахождения в этом (начальном) состоянии, а вероятность перехода в предыдущее равно интенсивности обработки заявок, умноженной на вероятность нахождения в этом (начальном) состоянии. Например: пусть у нас есть два обрабатывающих устройства и в дополнение очередь длиной в 1 человека. Имеем состояния:

0 - система никого не обслуживает.
1 - обслуживается один человек
2 - обслуживается двое
3 - обслуживаются двое, один в очереди.

Пусть P(i) - вероятность нахождения в i-м состоянии. Пусть также поток входящих заявок имеет интенсивность 3 чел/мин, а интенсивность обработки одним устройством - 2 чел/мин. В этом случае вероятность перехода в следующее состояние равна:

Из 0 в 1: P(0)*3
Из 1 в 2: P(1)*3
Из 2 в 3: P(2)*3

Вероятность обратного перехода:

Из 1 в 0: P(1)*2
Из 2 в 1: P(2)*4
Из 3 в 2: P(3)*4

Приравниваем:

P(0)*3 = P(1)*2 // для нулевого узла
P(1)*2 + P(1)*3 = P(0)*3+P(2)*4 // для первого узла
P(2)*4 + P(2)*3 = P(1)*3+P(3)*4 // для второго узла
P(2)*3 = P(3)*4 // для третьего

Понятно, что система избыточна; прибавляя последовательно предыдущие уравнения к следующим, получим простейшие:

P(0)*3 = P(1)*2
P(1)*3 = P(2)*4
P(2)*3 = P(3)*4, или

Добавляя сюда тривиальное P(0)+P(1)+P(2)+P(3) = 1, имеем

P(0) = 32/143
P(1) = 48/143
P(2) = 36/143
P(3) = 27/143

Таким образом, из 143 клиентов 27 уйдут ни с чем, т.к. очередь будет заполнена. Из оставшихся 116 : 32 + 48 попадут в обслуживание сразу, 36 будут ждать среднее время освобождения одного из устройств, т.е. 1/4 минуты. Таким образом, среднее время ожидания составит 1/4 * 36/116 = 9/116 минуты.

Для обобщения на произвольные значения нужно заметить, что соотношение между вероятностями соседних режимов равно соотношению интенсивности потоков между ними в одну и другую сторону, и применить формулы конечной либо бесконечной геометрической прогрессии.

[e_mir]

Спасибо за подробное обьяснение.