Люди! Человеки! Математики!

[e_mir]

Вопрос к серьезным людям, применяющих математику в работе и быту.

А если точнее - не всю математику, а теорию массового обслуживания, совершенно классическая задача расчета необходимого количества саппорт-персонала, его загрузки и линий для обеспечения приемлемого качества (оперативности) ответа. 

Многомудрые друзья мои, скажите, может быть у вас есть описание нужной формулы с примерами? Очень бы хотелось на нее посмотреть. Я в свое время это учил, но, разумеется, никаких записей у меня с тех времен не осталось. В сети я нашел несколько готовых калькуляторов, считающих эрланговскую нагрузку, но они просто выдают готовые результаты, а мне необходимо будет доступно обьяснить что откуда взялось незаинтересованным в этом людям.

Да, и еще момент - на чем считать-то формулу чтоб не заморачиваться? На Экселе? Или нужны какие-то матлабы?

Comments

[prool.livejournal.com]

Нова формула піклується про мою шкіру!

По моему всё это надо моделировать на старом добром языке GPSS

[ichthuss]

В общем, там все формулы интуитивно очевидны. В стационарном режиме средняя вероятность перехода в единицу времени из некоторого состояния и в это состояние равны между собой. Вероятность перехода из данного состояния в следующее равно интенсивности потока входящих заявок, умноженной на вероятность нахождения в этом (начальном) состоянии, а вероятность перехода в предыдущее равно интенсивности обработки заявок, умноженной на вероятность нахождения в этом (начальном) состоянии. Например: пусть у нас есть два обрабатывающих устройства и в дополнение очередь длиной в 1 человека. Имеем состояния:

0 - система никого не обслуживает.
1 - обслуживается один человек
2 - обслуживается двое
3 - обслуживаются двое, один в очереди.

Пусть P(i) - вероятность нахождения в i-м состоянии. Пусть также поток входящих заявок имеет интенсивность 3 чел/мин, а интенсивность обработки одним устройством - 2 чел/мин. В этом случае вероятность перехода в следующее состояние равна:

Из 0 в 1: P(0)*3
Из 1 в 2: P(1)*3
Из 2 в 3: P(2)*3

Вероятность обратного перехода:

Из 1 в 0: P(1)*2
Из 2 в 1: P(2)*4
Из 3 в 2: P(3)*4

Приравниваем:

P(0)*3 = P(1)*2 // для нулевого узла
P(1)*2 + P(1)*3 = P(0)*3+P(2)*4 // для первого узла
P(2)*4 + P(2)*3 = P(1)*3+P(3)*4 // для второго узла
P(2)*3 = P(3)*4 // для третьего

Понятно, что система избыточна; прибавляя последовательно предыдущие уравнения к следующим, получим простейшие:

P(0)*3 = P(1)*2
P(1)*3 = P(2)*4
P(2)*3 = P(3)*4, или

Добавляя сюда тривиальное P(0)+P(1)+P(2)+P(3) = 1, имеем

P(0) = 32/143
P(1) = 48/143
P(2) = 36/143
P(3) = 27/143

Таким образом, из 143 клиентов 27 уйдут ни с чем, т.к. очередь будет заполнена. Из оставшихся 116 : 32 + 48 попадут в обслуживание сразу, 36 будут ждать среднее время освобождения одного из устройств, т.е. 1/4 минуты. Таким образом, среднее время ожидания составит 1/4 * 36/116 = 9/116 минуты.

Для обобщения на произвольные значения нужно заметить, что соотношение между вероятностями соседних режимов равно соотношению интенсивности потоков между ними в одну и другую сторону, и применить формулы конечной либо бесконечной геометрической прогрессии.